基于特征值阈值的端元数估计方法

在高光谱图像分析中，端元数估计是一个关键步骤，它关系到后续处理的准确性和效率。本文介绍了一种基于特征值阈值的端元数估计方法，该方法通过噪声白化和特征值分析来确定高光谱数据中的端元数量。

高光谱图像的噪声白化

首先，我们考虑一个高光谱图像 \(\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{M \times B}\)，其中 \(M\) 是空间像素数，\(B\) 是谱带数。每个谱带可以表示为 \(\mathbf{X}\) 的一个列向量 \(\mathbf{x}_i\)。

噪声白化是预处理高光谱数据的第一步，目的是减少数据中的噪声，从而更容易识别出端元。为此，我们首先计算高光谱数据的协方差矩阵 \(\mathbf{C}_x\)，其定义如下：

\[ \mathbf{C}_x = \operatorname{Cov}(\mathbf{X}) = \left[\begin{array}{ccc} \sigma\left(\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{1}\right) & \cdots & \sigma\left(\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{B}\right) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma\left(\mathbf{x}_{B}, \mathbf{x}_{1}\right) & \cdots & \sigma\left(\mathbf{x}_{B}, \mathbf{x}_{B}\right) \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{B \times B} \]

其中，\(\sigma\left(\mathbf{x}_{m}, \mathbf{x}_{k}\right)\) 是两个向量 \(\mathbf{x}_m\) 和 \(\mathbf{x}_k\) 之间的协方差，计算公式为：

\[ \sigma\left(\mathbf{x}_{m}, \mathbf{x}_{k}\right) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(\mathbf{x}_{m i} - \bar{\mathbf{x}}_{m}\right)\left(\mathbf{x}_{k i} - \bar{\mathbf{x}}_{k}\right) \]

接下来，我们根据协方差矩阵 \(\mathbf{C}_x\) 计算噪声矩阵协方差 \(\mathbf{N}\)：

\[ \mathbf{N} = \operatorname{diag}\left(\frac{1}{\operatorname{Getdiag}(\mathbf{C}_x^{-1})}\right) \in \mathbb{R}^{B \times B} \]

其中，\(\operatorname{Getdiag}(\cdot)\) 表示提取矩阵的对角线元素，\(\operatorname{diag}(\cdot)\) 表示将向量转换为对角矩阵。

有了噪声矩阵协方差 \(\mathbf{N}\)，我们可以计算白化噪声矩阵 \(\mathbf{Y}\)：

\[ \mathbf{Y} = \mathbf{X}\left(\left(\sqrt{\mathbf{N}}\right)^{-1}\right)^\top \]

特征值软阈值算法

白化后的噪声矩阵 \(\mathbf{Y}\) 用于端元数估计。我们首先计算 \(\mathbf{Y}\) 的自相关矩阵 \(\mathbf{C}_y\) 和自协方差矩阵 \(\mathbf{R}_y\)：

\[ \mathbf{C}_y = \operatorname{Cov}(\mathbf{Y}) \in \mathbb{R}^{B \times B} \]

\[ \mathbf{R}_y = E\left(\mathbf{Y} \mathbf{Y}^{T}\right) \in \mathbb{R}^{B \times B} \]

其中，自相关矩阵 \(\mathbf{C}_y\) 的元素 \(\sigma\left(\mathbf{y}_{i}, \mathbf{y}_{j}\right)\) 和自协方差矩阵 \(\mathbf{R}_y\) 的元素 \(\rho(\mathbf{y}_i, \mathbf{y}_j)\) 定义如下：

\[ \rho(\mathbf{y}_i, \mathbf{y}_j) = \operatorname{corr}(\mathbf{y}_i, \mathbf{y}_j) = \frac{\operatorname{cov}(\mathbf{y}_i, \mathbf{y}_j)}{\sigma_Y \sigma_Y} \]

接下来，我们分别计算这两个矩阵的特征值：

\[ \mathbf{\Sigma}_C = \operatorname{eig}(\mathbf{C}_y) \]

\[ \mathbf{\Sigma}_R = \operatorname{eig}(\mathbf{R}_y) \]

特征值矩阵 \(\mathbf{\Sigma}_C\) 和 \(\mathbf{\Sigma}_R\) 包含了自相关矩阵和自协方差矩阵的特征值。我们通过这两个矩阵计算特征值之间的方差 \(\mathbf{D}\)：

\[ \mathbf{D} = \mathbf{\Sigma}_R - \mathbf{\Sigma}_C \]

然后，我们估计噪声方差 \(\mathbf{V}\)：

\[ \mathbf{V} = \frac{2}{M}\left(\mathbf{\Sigma}_R^2 + \mathbf{\Sigma}_C^2\right) \]

最后，我们根据噪声方差 \(\mathbf{V}\) 计算特征值阈值门限 \(\operatorname{gate}\)：

\[ \operatorname{gate} = \sqrt{2 \times \mathbf{V}} \]

利用特征值阈值算法，我们可以得到估计的端元数 \(I\)：

\[ I = \sum_{i = 1}^B (\mathbf{D}_{ii} > \operatorname{gate}) \]